Velocidade e aceleração

A Física Newtoniana não nasceu do nada, ela foi fortemente influenciada pelos trabalhos de Galileu sobre a queda dos corpos no plano inclinado e pelas três leis de Kepler, as quais descrevem o movimento dos planetas.

“Galileu mostra o plano inclinado aos estudantes”. Fresco de Giuseppe Bezzuoli, Tribuna di Galileo, Museu Zoológico “La Specola”, Florença.

Conhecer as leis do movimento significa, em particular, compreender que relação existe entre a força, a velocidade e a aceleração. Vejamos o que são estes conceitos.

A velocidade e a aceleração

Toda a gente sabe calcular a velocidade média a que um carro viaja entre duas povoações: Basta dividir a distância entre estas pelo tempo que se demorou a fazer o percurso. Em geral estamos interessados em conhecer a velocidade em cada ponto do trajecto (velocidade instantânea), pois o conhecimento da velocidade média é insuficiente para descrever o movimento de um objecto.

Para calcularmos a velocidade (instantânea) precisamos de conhecer a posição y do objecto em cada instante x, i.e. precisamos de conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada. O cálculo da velocidade pode ser visualizado na figura da esquerda e no applet da direita onde, com o auxílio do rato, se podem mudar as posições dos pontos A e B.

Em cima esquema do cálculo da derivada de uma função, à direita applet mostrando a função f(x) = x^5/2. Applet cortesia de Mário Rodríguez Riotorto.

Tanto na figura como no applet podemos ver que a velocidade média se vai aproximando do declive da recta tangente no ponto x, pois a recta secante, que une os pontos f(x) e f(x + Δx), tende para a recta tangente quando Δx se aproxima de 0. 

No caso geral em que a variável y não é necessariamente a posição e a variável x não é necessariamente o tempo, chamamos derivada de f no ponto x à velocidade no ponto x, ou seja o declive da recta tangente. A interpretação geométrica da derivada permite-nos visualizá-la de uma forma bastante pitoresca, conforme pode ser visto no applet seguinte movendo com o rato o ponto vermelho e seleccionando a opção "Trace". O segmento de recta a verde representa o declive e a curva a vermelho a derivada.

O relógio dos Homens

No nosso dia a dia, a maneira como contamos o tempo é baseada na periodicidade que constatamos nos movimentos da Terra: –O período da sua rotação fixa a duração do nosso dia, o período de translação fixa a duração do nosso ano. Conhecemos não só o movimento da Terra, como também os ciclos lunares, os quais foram usados para contar o tempo (a duração do mês está relacionada com o período do movimento da Lua em torno da Terra, 29.5 dias, e a da semana com os quartos lunares).

Stonehenge, construído há 4000 mil anos, é um monumento à previsibilidade. Constatando os ciclos lunares e a posição do Sol ao longo da eclíptica, os antigos construíram este monumento relógio que marca por exemplo os solstícios e equinócios. No solstício de Verão, o Sol nasce na sua posição mais a norte; no solstício de Inverno, o Sol nasce na sua posição mais a sul.

De uma maneira geral, a regularidade do movimento dos astros foi evidente desde a antiguidade, quando ainda se pensava que a Terra estava parada e o Sol e os outros astros se deslocavam no céu. Além dos conhecidos ciclos do Sol e da Lua, cedo foram identificados outros corpos no sistema solar que, segundo as observações copiosamente anotadas, pareciam exibir um movimento periódico através da esfera celeste: Os planetas. Há registos destas observações na civilização babilónica, chinesa, egípcia e mais tarde na Grécia e em Roma. Olhar o céu transmite ainda hoje uma tal sensação de vastidão e de distância que a constatação de que bem 'lá em cima', uns pequenos astros errantes descrevem um movimento que se repete regularmente terá tido sempre um enorme impacto. Esta ordem celeste, manifestação de uma harmonia universal e intemporal, marcou a cultura antiga e todo o pensamento humano de uma forma profunda.

Na Grécia antiga apareceram as primeiras tentativas para, fazendo uso da grande quantidade de observações registadas ao longo dos anos, criar um modelo geométrico que permitisse não só descrever o real movimento dos planetas de uma forma mais precisa, como também dar capacidade de previsão sobre a sua posição futura. Este esforço culmina com o modelo de Ptolomeu, que é em muitos sentidos a primeira teoria científica.

Cláudio Ptolomeu (87-151) e representação esquemática do modelo ptolomaico.

Na sua procura de ordem, Kepler imaginou uma relação entre as órbitas dos seis planetas conhecidos e a geometria dos cinco sólidos platónicos.

O modelo ptolomaico, que data do séc. II D.C., é o primeiro modelo da antiguidade capaz de prever o movimento dos planetas conhecidos e a teoria que dominou a Astronomia durante mais de 14 séculos. No entanto, tratando-se de um modelo geocêntrico assente na hipótese de que qualquer planeta segue um movimento circular composto, foi necessário introduzir uma geometria progressivamente mais complexa para ir dando conta das observações cada vez mais precisas.

Muito mais tarde, no princípio do séc. XVI, Nicolau Copérnico (1473 – 1543) fez a proposta de um modelo parecido com o ptolemaico nos seus métodos mas com o Sol no centro do sistema solar. O modelo copernicano teve o mérito de ter trazido uma nova hipótese, ainda que polémica, para discussão nos círculos de astrónomos.

Esta discussão culminou com o trabalho de Johannes Kepler (1571 – 1630), o talentoso matemático, que após um longo escrutínio das observações de grande precisão efectuadas por Tycho Brahe (1546 – 1601) chegou ao enunciado das suas famosas 3 leis. Kepler acreditava que a divina harmonia se manifesta num Universo regido por leis matemáticas simples, e foi isso o que o levou a substituir os complicados modelos de Copérnico e Ptolomeu pela lei simples que descobriu escondida nos registos astronómicos mais precisos da época: todos os planetas descrevem elipses com o Sol num dos focos.

Qual o mecanismo responsável pela mudança das estações?

As estações do ano ocorrem porque o eixo de rotação da Terra está inclinado relativamente ao plano da sua órbita. Esta inclinação, como a figura seguinte mostra, é constante ao longo do ano, pelo que a posição dos dois hemisférios relativamente ao Sol muda à medida que o ano passa.

• Na posição 1 estamos a 21 Dezembro, no solstício de Inverno, e nesta data o hemisfério Norte tem o dia de menor exposição solar e o hemisfério Sul o seu dia mais longo. Como mostra a figura, nesta altura do ano, o hemisfério Sul, no seu Verão, recebe a luz do Sol mais directamente do que o hemisfério Norte. Este por outro lado, no seu Inverno, recebe os raios solares com uma maior inclinação média relativamente à superfície da Terra.
• À medida que avançamos no ano, passamos pela posição 2, o equinócio da Primavera, a 20 de Março. Nesse dia o dia e a noite têm exactamente a mesma duração.
• Na posição 3, estamos a 21 de Junho, no solstício de Verão, e repare-se como agora é o hemisfério Norte que recebe a radiação solar mais directamente e tem o dia mais longo do ano. Nesta posição é Inverno no hemisfério Sul e Verão no hemisfério Norte.
• Por último na posição 4 estamos a 22 de Setembro (ou 21, se o ano for bissexto), no equinócio do Outono, onde o dia e a noite tornam a ter a mesma duração.

Desta maneira podemos compreender porque é que nas regiões do equador não existem estações do ano.

Qualquer planeta cujo eixo tenha uma obliquidade diferente de 0 exibe estações do ano. Estas podem produzir maiores ou menores contrastes no clima do planeta ao longo do ano conforme o valor desta inclinação. Por exemplo, na Terra as eras glaciares são provocadas pelo ligeiro aumento da sua obliquidade o que nos diz da importância deste parâmetro nas condições que esperamos encontrar em cada planeta que estudamos.

Translação e as estações do ano

Uma das consequências do movimento de translação dos planetas é o ciclo das estações do ano. A Terra leva 365.256 dias a dar uma volta completa à volta do Sol, numa órbita de excentricidade bastante baixae = 0.017, quase circular, o que significa que nunca varia muito a sua distância ao Sol. No entanto sabemos que com o passar do ano a Terra sofre alterações climáticas, conforme a zona do globo, que identificamos como as estações do ano.

Rotação e precessão

Tal como um pião, um planeta exibe um movimento de precessão do seu eixo em torno de uma linha perpendicular ao plano definido pelo seu movimento de translacção. Desta maneira o ângulo que o eixo de rotação faz com este plano não muda.

Além de um movimento de translação, os planetas rodam sobre si próprios com um período característico para cada planeta e cada época. Na Terra, é este movimento que é responsável pela duração do dia: –O tempo que demora a completar uma rotação completa. Este movimento dá-se em torno de um eixo imaginário, chamado eixo de rotação, que define os dois pólos do planeta e passa pelo seu centro.

Uma das medidas importantes para caracterizar dinamicamente os planetas é precisamente o ângulo, chamado obliquidade, que o eixo de rotação faz com o plano da órbita à volta do Sol. Este eixo, no entanto, não está fixo uma vez que os planetas, tal como um pião, podem exibir ainda um movimento de precessão do eixo de rotação, cf. figura da direita, como pode ser visto no seguinte vídeo, cortesia deE. Manousakis.

Precessão dos equinócios.

No caso da Terra, este movimento quase imperceptível à escala de tempo da vida humana, é revelado pela 'variação' ao longo do tempo da estrela polar que o eixo de rotação da Terra 'toca'. Este movimento, chamado precessão dos equinócios, corresponde a uma precessão do eixo de rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano da eclíptica com um período aproximado de 26 000 anos. Na figura seguinte podemos ver as obliquidades dos vários planetas.

Inclinação relativa de cada um dos planetas em relação ao plano das suas órbitas. Os casos mais curiosos são o de Vénus e Plutão, que rodam ao contrário, e o de Urano, que roda deitado.

No tópico caos rápido no sistema solar veremos que este ângulo também pode variar ao longo do tempo devido à influência gravitacional dos outros planetas, movimento esse que se chamanutação.

Translação

A interacção gravítica é responsável pelo movimento dos corpos celestes. Segundo a lei de Newton da gravitação, a força gravítica depende da massa dos corpos: –Quanto maior for a massa de um corpo, maior será a força de atracção que exerce sobre outros corpos. No sistema solar, o Sol é de longe o corpo mais massivo e por esta razão produz o principal campo gravítico. Por a sua influência ser tão predominante, a dinâmica de referência que observamos no sistema solar é o movimento de planetas, asteróides e cometas a orbitar em torno do Sol, o que corresponde ao problema de dois corpos em interacção gravítica. A solução deste problema, conseguida por Isaac Newton, resultou na dedução das leis de Kepler, que tinham sido obtidas empiricamente. Encontrou-se assim o mecanismo dominante da dinâmica do sistema solar, que há milhares de anos é visto como um relógio nos astros. Nesta abordagem idealizada do sistema solar, despreza-se a interacção gravítica entre os vários planetas e considera-se que cada planeta só interage com o Sol. No entanto a história não acaba aqui, como veremos. A interacção entre muitos corpos, mesmo sendo fraca, dá origem a uma dinâmica complexa onde, não raramente, encontramos o caos.

A elipse, uma das secções cónicas.

A elipse, uma espécie de círculo alongado, é uma das secções cónicas e é a solução de órbita fechada do problema de 2 corpos. Uma medida importante é a sua excentricidade eque varia entre 0 e 1, cf. figura seguinte. Quando e = 0 a elipse reduz-se a um círculo. Quando e = 1 a elipse é tão alongada que degenera numa linha recta.

A excentricidade de uma elipse.

Com excepção de Plutão e Mercúrio: –Os planetas com órbitas de maior excentricidade, a maior parte dos planetas tem excentricidades muito baixas, sendo as suas órbitas quase circulares. É por esta razão que muitas vezes pensamos no Sol como estando no centro da órbita, embora na verdade esteja num dos focos.

Em consequência da formação do sistema solar, todos os planetas, com excepção de Plutão, orbitam aproximadamente no mesmo plano. As observações baseadas na Terra definem um referencial privilegiado, em que um dos planos coordenados é o plano da eclíptica: –O plano da órbita da Terra em volta do Sol.

Os planetas

O nosso sistema solar tem 9 planetas identificados pelas observações astronómicas clássicas como corpos luminosos que apresentam movimento em relação às estrelas fixas e que se deslocam 'em bloco' no firmamento em função dos movimentos de rotação e translação da Terra. Os diferentes planetas têm muitas características que os distinguem e cada um deles é um mundo exótico que merece ser observado em particular. A análise destas diferentes características permitirá também melhorar a nossa compreensão da história do sistema solar.

Os planetas do nosso sistema solar: clique nas imagens para obter informação sobre cada um deles:

Mercúrio

Vénus

Terra

Marte

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

Plutão

Planetas exteriores e planetas interiores

Nesta fase a pressão era suficientemente baixa para que as substâncias não pudessem existir no estado líquido, ou se encontravam no estado sólido ou no estado gasoso, dependendo da sua temperatura de condensação. O hidrogénio e o hélio têm temperaturas de condensação muito baixas e consequentemente em toda a nebulosa encontravam-se no estado gasoso. No entanto, na zona interior do disco, apenas os materiais com altas temperaturas de condensação como o ferro, o magnésio, o enxofre, entre outros, sobreviveram no seu estado sólido. Substâncias como a água, o metano e a amónia foram vaporizadas pelas altas temperaturas.

Planetesimais.

Nestas condições, na zona interior, os pequenos corpos que resistiam às altas temperaturas em órbita do futuro Sol começaram a atrair-se gravitacionalmente, a colidir e a ligar-se, dando origem a objectos cada vez maiores. À medida que foram aumentando de tamanho, passando de planetesimais a protoplanetas, as colisões entre os vários corpos foram sendo cada vez mais espectaculares. Foi provavelmente numa destas colisões que a Lua ficou gravitacionalmente ligada à Terra. Foi ainda devido ao calor libertado nestas colisões que o material dos planetas recém-formados derreteu, permitindo que os materiais mais pesados se 'afundassem', dando origem aos densos núcleos de ferro dos planetas interiores.

Protoplanetas.

Quanto aos planetas exteriores, também começaram por ser pequenos planetesimais, mas desta feita não só os materiais rochosos estavam disponíveis para formar pequenos planetas, mas também o gelo existia em quantidades muito superiores. Esta é uma das razões pelas quais os planetas exteriores são muito maiores do que os interiores. Além disso havia ainda grandes quantidades de hidrogénio e hélio, que pelas baixas temperaturas se moviam mais lentamente, o que facilitou a sua captura pelos planetas em formação. O resultado foram vários planetas gigantes, com núcleos rochosos, de massas 5 a 10 vezes superiores à massa da Terra e com uma grande atmosfera de hidrogénio envolvente.

Sistema solar.

Entre Marte e Júpiter sobreviveu ainda a chamada cintura de asteróides. Ao que tudo indica são protoplanetas que nunca chegaram a formar um planeta devido às perturbações gravitacionais causadas por Júpiter.

Julga-se que a restante matéria da nebulosa solar, que não foi incorporada na formação de nenhum planeta, tenha sido ejectada para fora do sistema solar pelo vento solar, então milhares de vezes mais forte do que actualmente e por encontros gravitacionais.

A nebulosa solar

Nebulosa solar.

Como foi dito, a nebulosa solar começou por ser uma nuvem gigante de densidade baixa, mas contudo suficiente para possibilitar a contracção gravitacional dos seus gases e poeiras que, no centro, onde a concentração de matéria era maior, começaram a formar umaprotoestrela.

À medida que a nebulosa solar diminuía de tamanho, aumentava a sua velocidade de rotação e o material das zonas exteriores, que não foi incorporado na protoestrela devido à força centrífuga, formou o chamadodisco protoplanetário. Foi a partir do material deste disco, composto principalmente por hidrogénio e hélio no estado gasoso e uma pequena percentagem de outros elementos mais pesados, que se formaram os planetas do sistema solar.

Disco protoplanetário.

Desde o princípio da contracção da nebulosa solar até à formação do disco protoplanetário terão passado 100 mil anos; Até ao início das reacções termonucleares no interior da estrela terão passado 10 milhões de anos. Por esta razão pensa-se que a formação dos planetas começou muito antes de o Sol ter o tamanho e a luminosidade actuais. No início da contracção, a nebulosa solar teria uma temperatura de 50 K, mas à medida que a protoestrela foi aquecendo, a temperatura da parte interior do disco foi também aumentando até cerca de 2000 K na zona mais próxima do Sol. Assim, o disco protoplanetário então formado ganhou duas regiões distintas: uma interior, donde resultaram os planetas terrestres, onde as temperaturas eram da ordem das centenas de graus Kelvin, e uma região exterior, que deu origem aos planetas gasosos e onde as temperaturas mantiveram-se na ordem das dezenas de graus Kelvin

Formação dos Planetas - Nos diversos ramos da Física, o uso de computadores é cada vez mais indispensável como ferramenta para o teste de modelos teóricos através das chamadas simulações computacionais. Se quisermos testar a plausibilidade de um modelo ou uma teoria física podemos, usando um computador, criar um fenómeno virtual que se comporta de acordo com esse modelo. Comparando os resultados obtidos com aquilo que nos mostra a realidade, podemos ajuizar mais facilmente sobre a qualidade do modelo e, eventualmente, melhorá-lo.

Abaixo um breve histórico da evolução dos conhecimentos sobre astronomia 

750 a.C. - Os egípcios começam a utilizar o movimento do sol para contar o tempo. Surgem os primeiros relógios de Sol.

600 a.C. - O pesquisador grego Tales de Mileto calcula e consegue prever a chegada de um eclipse.

350 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnidos elabora o primeiro mapa astronômico.

240 a.C. - O grego Eratóstenes  faz o primeiro cálculo da circunferência do planeta Terra e chega a conclusão que está distância é de 39.690 km. 

140 -  Claudius Ptolomeu, pesquisador grego, elabora o primeiro modelo do universo: a Terra ficaria no centro e os planetas e estrelas girariam em torno dela.

1054 - Na China, observadores de estrelas relatam, pela primeira vez, a morte de uma estrela na constelação de Touro.

1304 - O pintor renascentista italiano Giotto faz uma pintura retratando um cometa.

1472 - O astrônomo alemão  Johann Müller elabora, com detalhes, estudos sobre a órbita de um cometa.

1543 - Nicolau Copérnico, astrônomo polonês, desenvolve estudos provando a teoria do heliocentrismo. De acordo com ela, todos os planetas do sistema solar giram ao redor do Sol. Esta tese é apresentada no livro Sobre a Revolução dos Corpos Celestes. Embora não aceita pela Igreja Católica, a teoria passar ser um referencial nas pesquisas astronômicas, pois derruba a visão de Ptolomeu sobre o Universo.

1610 - O italiano Galileu Galilei desenvolve um instrumento parecido com um telescópio para observar os astros.

1845 - O irlandês William Parsons elabora o maior telescópio de sua época e descobre as primeiras galáxias espirais.

1851 - O físico francês Jean-Bernard-Leon Foucault comprova o movimento de rotação do planeta Terra. 

1862 - O físico sueco Anders Jonas Angströn descobre que o Sol contém hidrogênio em sua composição.

1929 - O astrônomo norte-americano Edwin Powell Hubble descobre que as galáxias afastam-se uma das outras. É a semente para a Teoria do Big Bang, a explosão inicial que deu origem ao Universo.

1957 - Lançado na órbita da Terra, pela primeira vez na história, um satélite artificial. O feito foi realizado pelo programa espacial soviético chamado Sputinik. O satélite era uma esfera de metal de 50 cm de diâmetro.

1957 - A cadela russa Laika foi o primeiro ser vivo a entrar em órbita do planeta Terra. O feito foi realizado em 3 de novembro de 1957. A nave espacial soviética que levou Laika nesta missão foi chamada de Sputinik 2.

1963 - O norte-americano Maarten Schmidt faz descobertas sobre os quasares, os astros mais distantes e mais poderosos que existem no universo.

1964 - Os astrônomos Arno Allan Penzias e Robert Woodrow Wilson detectam a luz originária da explosão do Big Bang há 13 bilhões de anos.

1967 - O astrônomo inglês Anthony Hewish consegue captar sinais de rádio do primeiro pulsar, uma espécie de estrela que emite radiação no formato de pulsos regulares.

1971 - O pequisador canadense C.T. Bolt detecta a existência dos buracos negros que concentram a maior quantidade de matéria do Universo.

1975 - O físico inglês Stephen Hawking  conclui que um buraco negro pode evaporar, perdendo nesse processo uma pequena quantidade de massa.

1987 - O astrônomo canadense Ian Shelton consegue a primeira supernova próxima da Terra. As supernovas são explosões de grandes estrelas próximas a morte.

1992 - O telescópio orbital Cobe consegue fotografar, com grande precisão, o brilho do Big Bang.

1999 - Os astrônomos, após observações e imagens do telescópio Hubble, comprovam que o Universo está se expandindo há 13 bilhões de anos, ou seja, desde o momento do Big Bang.

2006 - Marcos Pontes, tenente-coronel da FAB, tornou-se o primeiro brasileiro e sul-americano a ir ao espaço sideral. Pontes participou da missão espacial, destinada a experimentos científicos, na Estação Espacial Internacional.

2014 - A NASA anuncia a descoberta de um planeta muito parecido com a Terra. A importante descoberta foi realizada pela sonda espacial Kepler (lançada em 2009). O planeta está localizado na "zona habitável" e ganhou o nome de Kepler-186f, pois orbita a estrela Kepler-186.

O que é astronomia

É a ciência que estuda os astros e a estrutura do universo. O astrônomo desenvolve teorias e as testa, confrontando-as com a observação da realidade. Ele pode investigar a origem e a evolução do universo e as forças que o regem. Pode, também, se dedicar à observação e ao registro de imagens de objetos celestes, como estrelas, planetas, cometas, asteroides ou galáxias, a fim de estudar seu movimento, sua disposição no espaço e relação com os demais corpos da região. Para isso, faz uso de telescópios e câmeras, Analisa a composição química e as características físicas da superfície dos astros.